➗ Çarpanlar ve Katlar (EBOB-EKOK)
Bir sayının çarpanlarını bulma, EBOB ve EKOK problemleri.
📖 Kitap bölümü · giriş, çözümlü örnekler, sık hatalar, özet ve alıştırmalarla tam anlatım
🎬 Giriş: Fayans döşeyen usta
Bir usta, 48 cm boyunda ve 36 cm eninde bir duvara hiç kesmeden, aynı boyutta kare fayanslar döşemek istiyor. Fayanslar mümkün olan en büyük kare olacak. Usta cetvelle uğraşmıyor; kâğıda iki sayı yazıp altını çiziyor: 48 ve 36. Çünkü bu bir tasarım sorusu değil, bir bölünebilme sorusudur.
Bu bölümü bitirdiğinde ustanın kâğıda ne yazdığını ve neden 12 sayısını bulduğunu tam olarak anlayacaksın.
1. Bölen ve çarpan: aynı madalyonun iki yüzü
Bir sayıyı kalansız bölen sayılara o sayının böleni (çarpanı) denir. 12 sayısını ele alalım:
Bölenleri bulurken çiftler hâlinde ilerlemek en güvenli yöntemdir: 1 ile 12, 2 ile 6, 3 ile 4. Böylece hiçbirini atlamazsın. Bölen sayısı çift olan sayılarda çiftler tam eşleşir; tam kare sayılarda (16, 36 gibi) ortada tek bir sayı kalır (16 için 4×4).
2. Asal sayılar ve asal çarpanlara ayırma
Yalnızca 1 ve kendisine bölünebilen, 1'den büyük sayılara asal sayı denir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… Dikkat: 1 asal değildir (tek böleni var), 2 ise tek çift asal sayıdır.
Her sayı, asal çarpanlarının çarpımı olarak tek bir biçimde yazılabilir. Yöntem: sayıyı bölebilen en küçük asaldan başlayıp bölmeye devam et.
48 ÷ 2 = 24 → 24 ÷ 2 = 12 → 12 ÷ 2 = 6 → 6 ÷ 2 = 3 → 3 ÷ 3 = 1
Sonuç: 48 = 2⁴ · 3
36 sayısını ayıralım:
36 ÷ 2 = 18 → 18 ÷ 2 = 9 → 9 ÷ 3 = 3 → 3 ÷ 3 = 1
Sonuç: 36 = 2² · 3²
3. EBOB: en büyük ortak bölen
İki sayıyı da kalansız bölen sayıların en büyüğüdür. Asal çarpanlara ayırdıktan sonra kural nettir:
48 = 2⁴·3 ve 36 = 2²·3² için ortak asallar 2 ve 3'tür. 2'nin küçük üssü 2², 3'ün küçük üssü 3¹ → EBOB = 2²·3 = 12.
İşte ustanın bulduğu sayı: fayans kenarı 12 cm olacak. Duvara boyda 48÷12 = 4, ende 36÷12 = 3 fayans, toplam 12 fayans gelir ve hiç kesme olmaz.
4. EKOK: en küçük ortak kat
48 = 2⁴·3 ve 36 = 2²·3² için: 2'nin büyük üssü 2⁴, 3'ün büyük üssü 3² → EKOK = 16·9 = 144.
Doğrulayalım: 12 × 144 = 1728 ve 48 × 36 = 1728. ✓ Bu kural, ikisinden birini bildiğinde diğerini saniyede bulmanı sağlar.
5. Hangisi? EBOB mu EKOK mu — karar tablosu
LGS'de asıl zorluk hesap değil, hangisini kullanacağını seçmektir. Problemin dilinden anlaşılır:
EKOK kullanılır: "en az kaç…", "tekrar birlikte / yeniden aynı anda", "en erken ne zaman", "hem … hem … tam bölünen en küçük sayı", "turlarda yeniden karşılaşma".
6. Çözümlü örnekler
Çözüm: 18 = 2·3², 30 = 2·3·5. EBOB = 2·3 = 6. EKOK = 2·3²·5 = 90. Kontrol: 6·90 = 540 = 18·30 ✓
Çözüm: "En fazla + eşit + artan yok" → EBOB. 24 = 2³·3, 36 = 2²·3², 60 = 2²·3·5. Ortakların küçük üslüleri: 2²·3 = 12 öğrenci. Her öğrenci 24÷12 = 2 kalem, 3 silgi, 5 defter alır.
Çözüm: "Tekrar birlikte + en erken" → EKOK. 15 = 3·5, 20 = 2²·5, 25 = 5². Tümünün büyük üslüleri: 2²·3·5² = 300 dakika = 5 saat → saat 13.00.
Çözüm: Kalan aynıysa sayı = EKOK'un katı + kalan. EKOK(4,6) = 12 → sayılar 12k + 3: 15, 27, 39… En küçük iki basamaklı: 15.
Çözüm: Altın kural: EBOB·EKOK = a·b → 8·96 = 24·b → 768 = 24b → b = 32. (Kontrol: EBOB(24,32) = 8 ✓, EKOK = 96 ✓)
⚠️ Sık yapılan hatalar
1) EBOB–EKOK karışması. En sık kaybedilen puan burada. Çözüm: hesaba başlamadan önce problemin son cümlesindeki anahtar kelimeyi (en fazla / en az) daire içine al.
2) EKOK'ta yalnız ortak çarpanları almak. EKOK'ta tüm asal çarpanlar alınır — ortak olmayanlar da dahil. 60'ın 5'ini atlarsan sonuç yanlış çıkar.
3) 1'i asal saymak. 1 asal değildir; asal çarpan ayırımında hiç yazılmaz.
4) Üsleri karıştırmak. EBOB'da küçük üs, EKOK'ta büyük üs. Kodla: "EBOB Bodur (küçük), EKOK Kocaman (büyük)".
5) Kalanlı problemde kalanı eklemeyi unutmak. "Hepsinde 3 kalan veriyor" diyorsa cevap EKOK değil, EKOK + 3'tür.
🌍 Gerçek hayatta nerede karşımıza çıkar?
Takvimler ve döngüler (Ay ile Güneş takviminin kaç yılda bir örtüşeceği), dişli çarklar (iki dişlinin başlangıç konumuna kaç turda döneceği), müzikte ölçü kalıpları, trafik ışıklarının senkronizasyonu, paket tasarımı (kutuya artansız sığan en büyük parça), fayans-parke döşeme, ekip vardiya planlaması. EBOB "en büyük parça", EKOK "yeniden çakışma" sorusudur — bu iki cümle tüm uygulamaları kapsar.
📝 Bölüm özeti
• Çarpan = kalansız bölen. Bölenleri çiftler hâlinde ara.
• Asal çarpan ayırımı her sayı için tektir; en küçük asaldan başla.
• EBOB: ortak asalların küçük üslüleri → "en büyük parça / eşit paylaştırma".
• EKOK: tüm asalların büyük üslüleri → "en az / tekrar birlikte".
• EBOB × EKOK = a × b (kontrol ve ters kurulum için).
• Aralarında asal iki sayıda EBOB = 1, EKOK = çarpımları.
✍️ Alıştırmalar
A. 42 ve 70 sayılarının EBOB ve EKOK'unu bulun.
B. 32 kırmızı, 48 mavi boncuk, hiç artmadan en fazla kaç eşit kolyeye dağıtılır? Her kolyede kaç mavi boncuk olur?
C. Üç ışık 6, 8 ve 12 saniyede bir yanıp söner. Aynı anda yandıktan en az kaç saniye sonra yine birlikte yanarlar?
D. 5'e ve 7'ye bölündüğünde 2 kalanını veren en küçük üç basamaklı sayı kaçtır?
E. İki sayının EBOB'u 6, EKOK'u 72'dir. Biri 18 ise diğeri kaçtır?